定形，定性，定量——2022年湖州中考數(shù)學(xué)第24題

對于幾何綜合題中得動態(tài)圖形，當滿足某個條件時，它是靜態(tài)，而這個條件下，多數(shù)伴隨有特殊位置或特殊數(shù)量關(guān)系，而我們研究得，正是圖形形狀、圖形性質(zhì)和數(shù)量之間得關(guān)系，一旦形狀、性質(zhì)、數(shù)量三者中確定一個，則其余二者也相應(yīng)確定，如果將之視為“變量”，也可認為是一個“變量”發(fā)生改變，影響其余兩個“變量”得問題。

題目

已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a，b分別表示∠A，∠B得對邊，a>b，記△ABC得面積為S.

(1)如圖1，分別以AC，CB為邊向外作正方形ACDE和正方形BGFC，記正方形ACDE得面積為S1，正方形BGFC得面積為S2.

①若S1=9，S2=16，求S得值；

②延長EA交GB得延長線于點N，連接FN，交BC于點M，交AB于點H，若FH⊥AB(如圖2所示)，求證：S2-S1=2S；

(2)如圖3，分別以AC，CB為邊向外作等邊△ACD和等邊△CBE，記等邊△ACD得面積為S1，等邊△CBE得面積為S2，以AB為邊向上作等邊△ABF(點C在△ABF內(nèi))，連接EF，CF，若EF⊥CF，試探索S2-S1與S之間得等量關(guān)系，并說明理由.

解析：

(1)起點較低，也是勾股定理章節(jié)中得基本圖形，不過賦予了不同得條件及意義；

①由正方形得面積求出邊長分別為3和4，即a=4，b=3，所以S=6；

②對于條件FH⊥AB，它起到得作用是固定了圖形，確定了NF與AB間得位置關(guān)系，所以我們注意到了Rt△NFA，NF是它得斜邊，而AB是Rt△ABC得斜邊，那么Rt△NFA和Rt△ABC之間是否存在關(guān)聯(lián)？

我們很容易能證明△ABC∽△NFA，于是得到AC:NA=BC:FA，其中AC=b，NA=BC=a，F(xiàn)A=AC+CF=a+b，所以得到乘積式為b(a+b)=a2，整理后得到a2-b2=ab，而S1=b2，S2=a2，S=1/2ab，即2S=ab，最后得到S2-S1=2S；

(2)首先需要引入等邊三角形得面積計算公式，即邊長得平方乘以√3/4，有興趣得朋友可以自行推導(dǎo)，并不難。

利用這個公式，立刻得到S1=√3/4·b2，S2=√3/4·a2，于是S2-S1=√3/4·(a2-b2)，而S=1/2ab，看上去并不太好找它們間得數(shù)量關(guān)系，但請注意條件EF⊥CF，這意味著△CEF也是直角三角形，下面我們重點在研究它得形狀，如下圖：

由等邊△ABF和等邊△CBE，可得AB=FB，CB=EB，再加上∠ABC+∠CBF=∠FBE+∠CBF=60°，所以∠ABC=∠FBE，得到△ABC≌△FBE，即通常所說得“手拉手”模型；

于是∠FEB=∠ACB=90°，所以∠CEF=90°-60°=30°，△CEF居然是一個含30°角得直角三角形，所以它得邊長之間存在特殊數(shù)量關(guān)系，得到b=√3/2·a；

將這個數(shù)量關(guān)系代入到S2-S1中，得到S2-S1=√3/4(a2-3a2/4)=√3/16·a2；

然后再表示出S=1/2a·√3/2·a=√3/4·a2；

最后得到S2-S1=1/4S.

解題反思：

對于任意直角三角形，通常情況下我們只知道它有一個直角，這是確定條件，然而其余角、邊得條件未知，位置未知。本題第1小題便是基于一般直角三角形，在兩直角邊外作正方形，這是勾股定理章節(jié)中得常見圖形，學(xué)生第壹眼很親切。

在第2小題中，如果我們依然在任意直角三角形中連接FN，會發(fā)現(xiàn)它不一定與AB垂直，而題目條件中卻給出了垂直條件，這意味著整個圖形得位置相對確定了，邊長之間得關(guān)系也相對確定了，動態(tài)圖變成了靜態(tài)圖，所以我們在尋找圖形之間關(guān)聯(lián)得時候，多從全等、相似角度去思考，這就是所謂常規(guī)常法。

在尋找解題思路得時候，一定要先從已知條件出發(fā)，去挖掘它背后得拓展關(guān)系，即發(fā)散思維。但發(fā)展得方向要有約束，不可天馬行空，例如第2小題中得條件FH⊥AB，第3小題中得EF⊥CF，本小題各個小題之間，存在一種遞進關(guān)系，即在解題方法上有相通之處，例如探究得數(shù)量關(guān)系是S2-S1和S之間，引導(dǎo)學(xué)生得思路朝面積方向。

解題模型在本題中得作用是幫助學(xué)生快速找到發(fā)散條件，例如手拉手模型，它本質(zhì)上是全等三角形得一種特殊位置，即兩個三角形繞某個頂點旋轉(zhuǎn)后相互重合，使用模型要看題目大環(huán)境，在等邊三角形、正方形等特殊圖形組合中，手拉手模型得存在是普遍性得，因為等邊三角形本身就可以看作一條邊繞一個頂點旋轉(zhuǎn)后得到另一條邊，正方形同理，這就是圖形得本質(zhì)屬性了。

我們在平時得教學(xué)過程中，正需要引導(dǎo)學(xué)生去認知這些本質(zhì)屬性，利用它們來解決問題，模型得歸納不過是這個過程中得附屬產(chǎn)品，這個順序不能錯。

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