畢達(dá)哥拉斯與 “打鐵” 故事得續(xù)集 | 圖源：pixabay

- 編者按 -

上月，《知識(shí)分子》發(fā)表了一篇關(guān)于畢達(dá)哥拉斯傳說得文章：《畢達(dá)哥拉斯在鐵匠鋪稱錘子？看似科學(xué)得故事哪里錯(cuò)了》，文章指出：畢達(dá)哥拉斯路過鐵匠鋪，聽到打鐵聲音得和諧，于是通過稱量不同鐵錘得重量確認(rèn)了這種關(guān)系，這個(gè)故事不符合聲學(xué)原理，應(yīng)是訛傳。

這篇文章從音樂講到科學(xué)，饒有趣味，意味深長(zhǎng)，文末得留言區(qū)也是異彩紛呈。原文看了大家得留言后，思考良多，而且還一言不合，抄起錘子就做了個(gè)實(shí)驗(yàn)。遂又作此文，與大家接著上次得問題接繼續(xù)討論：既然打鐵好聽，為何仍說畢達(dá)哥拉斯故事為訛？我們又能從這一訛傳里獲得哪些啟發(fā)？

（經(jīng)常有讀者在后臺(tái)留言，說小編精選留言很 “任性”，實(shí)際上只要不是太 “不堪入目” 得言論，無論褒貶，小編都會(huì)精選出來供大家討論。今天借此機(jī)會(huì)，告訴大家兩個(gè)小秘密：1. 每一條留言小編都會(huì)仔細(xì)看；2. 不僅小編看，文章也在看，回復(fù)留言不過癮得話，可能還會(huì)再寫一篇文章跟大家繼續(xù)交流。）

撰文 | 吳進(jìn)遠(yuǎn)

責(zé)編 | 王雨丹

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拙作《畢達(dá)哥拉斯在鐵匠鋪稱錘子？看似科學(xué)得故事哪里錯(cuò)了》7月11日在《知識(shí)分子》公眾號(hào)發(fā)表。文章發(fā)表后，讀者熱烈留言討論，大家得留言堪稱是對(duì)這一話題得二次創(chuàng)作，甚至比正文更有趣。在此既要感謝贊同方，也要感謝反對(duì)方得留言，正是由于雙方意見得存在，才使得評(píng)論區(qū)精彩紛呈。

部分留言截圖

有得朋友不滿意我得文章，覺得很容易讓受眾對(duì)畢達(dá)哥拉斯本人產(chǎn)生誤解，對(duì)此我很理解，畢竟學(xué)界連畢達(dá)哥拉斯這個(gè)人是否存在都有尖銳得不同看法，這個(gè)問題我沒有研究過因而不持任何意見。我所能確認(rèn)得是這個(gè)掛在畢達(dá)哥拉斯名下得故事與聲學(xué)原理不符，實(shí)際上，不管我寫不寫文章，這個(gè)傳說與聲學(xué)得相悖都是客觀存在得，國(guó)王穿沒穿新衣和小男孩嘴欠不欠沒有關(guān)系。

有得朋友建議實(shí)際敲一敲，打打鐵。這個(gè)建議非常好，我在網(wǎng)上搜到了真正打鐵得視頻，同時(shí)做了幾個(gè)模擬實(shí)驗(yàn)（后面會(huì)介紹實(shí)驗(yàn)得結(jié)果）。打鐵得聲音確實(shí)是很好聽得，而且打鐵對(duì)音樂家創(chuàng)作得影響也非常深刻，這個(gè)話題很值得聊聊。

有位朋友批評(píng)這篇文章有點(diǎn)無病呻吟，閑得，這個(gè)批評(píng)很中肯。得確，如果僅僅是考證或證偽一個(gè)年代久遠(yuǎn)得傳說，確實(shí)有些無聊。真正有現(xiàn)實(shí)意義得、影響到我們今天科學(xué)技術(shù)進(jìn)步得、值得仔細(xì)討論得，是科學(xué)得非神圣屬性：把科學(xué)神圣化、神秘化，對(duì)人們得學(xué)習(xí)探索與發(fā)現(xiàn)，實(shí)質(zhì)上是一種阻礙。這篇文章會(huì)用較大篇幅討論這個(gè)問題。

筆者小時(shí)候在中關(guān)村小學(xué)上學(xué)，學(xué)校操場(chǎng)外面得小松樹林里，有工人師傅打鐵。孩子們課間都著迷地趴在籬笆上看，上課鈴響了也不愿回教室。

打鐵一般是師徒兩人，徒弟掄大錘，師傅一手用火鉗夾著燒紅得工件，另一手拿小錘。很多時(shí)候，師傅在徒弟砸下兩大錘之間，用小錘在鐵砧上輕輕地敲一敲，這表示希望徒弟均勻地鍛打工件。有時(shí)候，師傅希望徒弟在某一個(gè)地方使勁砸一砸，就會(huì)在兩大錘之間敲打工件上得對(duì)應(yīng)部位。

視頻鏈接：特別bilibili/video/BV1CV411t7Mp?from=search&seid=15396689667753216982

打鐵得聲音很富有音樂感，除了節(jié)奏，大錘和小錘打出來聲音得音高也是不同得。通常大錘打出得聲音比較悶，是 “噗、噗” 得感覺，而小錘打出得聲音比較尖銳，是 “叮、叮” 得感覺。

既然打鐵富有音樂感，為什么畢達(dá)哥拉斯不能通過稱量不同鐵錘得重量確認(rèn)聲音和諧得數(shù)量關(guān)系呢？原因很簡(jiǎn)單，因?yàn)殄N子敲打得聲音不光和錘子得重量有關(guān)，還和錘子得形狀、尺寸、比例等有關(guān)，同時(shí)還和打在什么地方有關(guān)。大錘打在燒紅得工件上，工件相對(duì)比較軟，因而產(chǎn)生得沖擊脈沖時(shí)間比較長(zhǎng)，從而抑制了沖擊脈沖里得高頻成分，聽著就比較悶。

大家如果仔細(xì)看視頻，就能看到師傅手中得小錘更有說服力：當(dāng)小錘打在鐵砧上，沖擊脈沖時(shí)間很短，因而高頻成分豐富，聽上去就是 “叮、叮” 得；而當(dāng)小錘打在工件上，沖擊脈沖時(shí)間變長(zhǎng)，高頻成分少，因而聽上去也和大錘一樣是 “噗、噗” 得。

筆者做了模擬實(shí)驗(yàn)：

當(dāng)錘子砸在鐵砧上得時(shí)候，打出得聲音比較清脆。而當(dāng)錘子打在比較軟得鋁片上時(shí)，聲音就沉悶了許多。

打鐵雖然不會(huì)通過簡(jiǎn)單稱重鐵錘告訴人們聲音和諧得 “秘密”，但卻會(huì)深刻地影響音樂家得美學(xué)感悟。和打鐵有關(guān)得幾個(gè)比較著名得音樂作品包括威爾第歌劇《游吟詩(shī)人》中得《鐵砧合唱》（Anvil Chorus）和約瑟夫·斯特勞斯得《鐵匠波爾卡》（Feuerfest Polka）。

有得讀者可能會(huì)說，就算傳說中 “稱重確定聲音和諧” 這一說法不符合聲學(xué)原理，但這只是一個(gè)細(xì)節(jié)，不能整體否定畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)得結(jié)果吧？這要怪這個(gè)傳說得，如果他當(dāng)年不在這個(gè)美麗得故事里寫進(jìn)這樣一個(gè)細(xì)節(jié)，我們現(xiàn)在還真得沒有什么可以懷疑得，只需要信以為真就完了。

但另一方面，我們不妨從一個(gè)思想窠臼中走出來：不要一根筋地認(rèn)為天不生畢達(dá)哥拉斯，萬(wàn)古沒有音樂。我們完全可以看看，在世界得另一端，音樂得美麗是如何被人們認(rèn)識(shí)得。

音樂得基礎(chǔ)是音符，對(duì)多數(shù)人而言，一個(gè)音符得頻率是多少赫茲并不重要，關(guān)鍵是若干音符之間頻率得比例關(guān)系，或者是在弦樂器中，若干音符對(duì)應(yīng)得弦長(zhǎng)之間得比例關(guān)系。確定這種比例關(guān)系得一種方法在歐洲叫做 “畢達(dá)哥拉斯五度相生律”（Pythagorean tuning），而在古代華夏，叫做 “三分損益” 法，二者有些細(xì)小得差別，但都是使用2和3兩個(gè)質(zhì)數(shù)來生成不同音符對(duì)應(yīng)得弦長(zhǎng)。

在三分損益法中，我們把一個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)1得弦分成三份，然后把弦長(zhǎng) “損” 掉（1/3）L1，這樣得到得弦長(zhǎng)就成了L2 =（2/3）L1。這個(gè)長(zhǎng)度得弦發(fā)聲頻率為原來得1.5倍，新得音符和原來音符是 “嗦” 和 “哆” 得關(guān)系。

在L2弦長(zhǎng)得基礎(chǔ)上，再把弦分成三份，然后 “益” 回去（1/3）L2，這樣得到得弦長(zhǎng)就成了L3=（4/3）L2，新得音符唱做 “唻”。

在此基礎(chǔ)上再 “損” 一次得到 “啦”，再 “益” 一次得到 “咪”。這樣就有了 “哆唻咪嗦啦” 得五音音階。繼續(xù)進(jìn)行損益操作，可以生成一個(gè)八度之內(nèi)得全部得十二個(gè)音符。

現(xiàn)在知道蕞早把三分損益法寫下來得，是 2500 多年前得《管子》，當(dāng)然不是寫在紙上，而是寫在竹簡(jiǎn)上。年代久了，很多人有懷疑，這很正常，畢竟出土文物是判斷古代歷史真?zhèn)蔚媒饦?biāo)準(zhǔn)。而出土文物，有個(gè)現(xiàn)成得例子，就是上篇文章中談到得曾侯乙編鐘，也是 2500 多年前。

曾侯乙編鐘得音律確定方法甚至比三分損益法更豐富，以質(zhì)數(shù)3確定得五度為骨架，用質(zhì)數(shù)5確定得三度補(bǔ)充其他音符。（頻率比為3/2時(shí)音符關(guān)系是 “哆” 和 “嗦”，五度關(guān)系；頻率比為5/4時(shí)音符關(guān)系是 “哆” 和 “咪”，三度關(guān)系。用頻率440、550、660 赫茲分別對(duì)應(yīng)A調(diào)中得 “哆” “咪” “嗦” 這個(gè)規(guī)律比較好記。另外，現(xiàn)代得音樂中得 “純律”，也是使用質(zhì)數(shù)2，3，5來生成音符得）。

很多人認(rèn)為三分損益法不是管仲發(fā)明得，而《管子》中也并沒有說是管仲發(fā)明得。我認(rèn)為這就對(duì)了，三分損益法很可能是經(jīng)過很多人得大量多次實(shí)踐，逐漸總結(jié)出來得。

讓我們還是看出土文物：下圖是一支來自8000多年前、以鶴類禽鳥尺骨制成得骨笛，出土于河南舞陽(yáng)賈湖遺址。（總共陸續(xù)出土20余支）

賈湖骨笛 | 圖源wikipedia.org

大家可以從下面得鏈接聽一下研究人員測(cè)音時(shí)吹奏得《小白菜》，8000多年前古人定得音，和現(xiàn)代人得感覺居然那么一致，一點(diǎn)聽不出音準(zhǔn)上得別扭。

視頻鏈接：特別bilibili/video/BV1gW411e7CH?from=search&seid=6208647048463086933

制作骨笛得先民具體按照什么規(guī)律定得音，骨笛采用得音律對(duì)后世得三分損益等音律有什么影響，這些暫時(shí)還不清楚。但研究人員在骨笛上找到了各種等分計(jì)算得刻畫痕跡，相信今后會(huì)有更多研究進(jìn)展。

這一系列例子說明，人類智力活動(dòng)中得很多發(fā)現(xiàn)，很可能是許多引車賣漿得平民百姓積累而成得。包含了很多如你我這般普通人得努力，但并不一定需要一個(gè)足以彪炳史冊(cè)得天才大牛人物得 “靈機(jī)一動(dòng)”（如故事中得畢達(dá)哥拉斯）。

當(dāng)然，我們不應(yīng)否定天才大牛人物得作用，應(yīng)該說，包括科學(xué)在內(nèi)得人類智力活動(dòng)得進(jìn)步是普通勞力者與天才大牛肉食者們共同推動(dòng)得，朱載堉（yù）發(fā)明十二平均律就是個(gè)非常好得例證。

朱載堉發(fā)明十二平均律得故事，三篇文章也寫不完，用一句話概括，叫甘蔗沒有兩頭甜。

前面談到三分損益法（或五度相生法）可以從 “哆” 生成一個(gè)八度中得十二個(gè)音符，再繼續(xù)就能生成高音得 “哆”，只不過是個(gè)近似得高音 “哆”。真正得高音 “哆” 與中音 “哆” 之間是八度關(guān)系，頻率比為2?？墒怯萌謸p益操作12次，得到得頻率比為：

(3^12) / (2^18) = 2.027

這個(gè)數(shù)和2相比差了1.3%左右。這種差別，即使聽力不那么好得人，也會(huì)聽得別扭。如果按照這樣得方法定音，有得音程（兩個(gè)樂音之間得音高關(guān)系）之間非常和諧，有得音程之間就會(huì)很難聽，西方音樂中有所謂 “狼五度” “狼音程” 這樣得說法。而且如果在音樂作品中轉(zhuǎn)調(diào)時(shí)，問題會(huì)更加突出。

歷史上形成得其他音律生成方法，都不能解決這種 “轉(zhuǎn)調(diào)就走調(diào)” 得問題。而朱載堉想到得天才方法，是與其各種音程之間苦樂不均，不如大家苦樂均分。他提出得方法，可以用一個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)公式表述：

我們把鋼琴上得A4鍵稱為第0號(hào)鍵，音符A4得頻率設(shè)定為440赫茲。其他鍵對(duì)應(yīng)音符得頻率，按照上面這個(gè)公式就可以算出來，結(jié)果如下表所示：

這個(gè)方法，確保了轉(zhuǎn)調(diào)得時(shí)候所有音程之間得頻率比恒定，從而徹底解決了轉(zhuǎn)調(diào)就走調(diào)得問題，同時(shí)也近似滿足了五度（頻率比3/2）與三度（頻率比5/4）這兩組自然存在得和諧關(guān)系。大家不妨在上表找找對(duì)應(yīng)440，550，660赫茲得音符，不難看出這幾個(gè)數(shù)都存在近似，因而它們之間得和諧關(guān)系也是近似得。為了解決轉(zhuǎn)調(diào)就走調(diào)得問題，這種近似是無法避免得，這就是前面說得甘蔗沒有兩頭甜得意思。但無論如何，這個(gè)方法是個(gè)很巧妙得發(fā)明，成為現(xiàn)代鋼琴等鍵盤樂器得調(diào)音方法。

科學(xué)與神學(xué)截然不同，因而對(duì)科學(xué)史人物和科學(xué)家不應(yīng)該神圣化，對(duì)科學(xué)發(fā)現(xiàn)也不應(yīng)該神秘化。簡(jiǎn)單說，科學(xué)不是宗教，科學(xué)不是供人們相信得，科學(xué)只能通過實(shí)踐并啟發(fā)人們獨(dú)立思考而獲得認(rèn)同。如果以為學(xué)了科學(xué)便高人一等，他人都是 “愚昧” 得 “烏合之眾”，這種虛假得優(yōu)越感是十分可笑得，實(shí)際上是一種品質(zhì)不錯(cuò)化宗教乃至邪教得思維方式。

科學(xué)不是這個(gè)樣子得。

把科學(xué)神圣化、神秘化，這種思想方法對(duì)科研人員尤其有害，它會(huì)阻礙科研人員對(duì)世界得探求。受到這種思想方法侵害得科研工，難免會(huì)有一種潛意識(shí)，認(rèn)為科學(xué)研究是天才大牛才能干得事，作為普通人只能混日子。

蕞近我讀到一篇文章，有個(gè)很有趣得觀點(diǎn)：宣傳遙不可及得超常女科學(xué)家，是對(duì)女性得恐嚇。實(shí)際上，把科學(xué)人物封神，把科學(xué)發(fā)現(xiàn)說得玄乎其玄，不僅對(duì)女性，對(duì)男性也是恐嚇。幸運(yùn)得是，在真實(shí)得人類智慧活動(dòng)得歷史中，很多成果是普通人做出來得，或者是天才大牛與普通人共同做出來得。很多天才大牛得靈感，也是在長(zhǎng)期從事積累性工作中閃現(xiàn)得。因此科研工不應(yīng)被自己得 “心魔” 束縛手腳，而應(yīng)踏實(shí)地做好自己得工作，勤于思考，沒準(zhǔn)兒什么時(shí)候自己也會(huì)有靈感閃現(xiàn)得時(shí)候。

科學(xué)得非神圣化，本身就是科學(xué)不斷自我潔凈得必要條件。比如我告訴你觀音土香灰可以治病，你大概會(huì)忙不迭地來個(gè)吊打碾壓全世界觀得地毯式降維打擊吧。對(duì)于所有人類智力活動(dòng)得結(jié)論，我們都必須以批判得眼光看待，去粗取精，去偽存真。

換個(gè)例子，如果有人告訴你，數(shù)字很重要：“一是智慧；二是對(duì)立否定；三是形體；四是正義；五是婚姻；六是靈魂；七是機(jī)會(huì)；八是愛情；九是強(qiáng)大；十包容了一切。” 你又該如何看待，是嗤之以鼻還是頂禮膜拜呢？

你想問，這話是誰(shuí)說得？是村東頭算命先生吳半仙說得，還是村西頭畢達(dá)哥拉斯說得，與這些話正確與否有什么關(guān)系么？對(duì)于畢達(dá)哥拉斯名下 “萬(wàn)物皆數(shù)” 得理論，我們同樣需要剔除人為得神秘成分，才能吸收其合理成分。只有這樣我們才可以理解，像 “三分損益” 這種相當(dāng)了不起得成果，完全可能是許多沒有留下姓名得普通人逐漸總結(jié)出來得。

一句話得對(duì)錯(cuò)，與這句話是誰(shuí)說得完全無關(guān)，因此，我們不應(yīng)該把科學(xué)工封神。

用我自己舉個(gè)例子吧，我是學(xué)物理得，這幾年陸續(xù)寫了一些科普文章，但不是網(wǎng)紅，可以算 “網(wǎng)灰”。我得文章有不少人喜歡，同時(shí)也有相當(dāng)多得批評(píng)，有白有黑，平均為灰。這種批評(píng)是很有價(jià)值得，即使有得讀者不是物理可以得，或是學(xué)歷沒有我高，或是內(nèi)容完全理解錯(cuò)了、批評(píng)得不著邊際，但至少也能幫助我搞清楚文章中哪些部分沒有寫明白，或者邏輯跳躍太快容易讓人誤解。

如果你來問我，用手接觸帶電導(dǎo)體會(huì)不會(huì)觸電，我當(dāng)然要憑良心講真話，告訴你科學(xué)事實(shí)。這些科學(xué)事實(shí)中包括：穿了良好得絕緣鞋，單手接觸單一帶電導(dǎo)體不會(huì)觸電。但希望你不要聽了我說得這半句話，就去吐槽你們單位得安全規(guī)則——通常安全規(guī)則上說，可能嗎？不可以用手碰觸帶電導(dǎo)體。

得確，你們單位制訂安全規(guī)則得領(lǐng)導(dǎo)可能不是物理可以得，學(xué)歷可能沒有那么高，但在這件事上，你說物理上得事應(yīng)該聽物理學(xué)家得（那半句話），就有問題了。安全規(guī)則需要非常高得冗余度，如果用手接觸帶電導(dǎo)體，有一定得概率仍然會(huì)觸電身亡，比如另一只手扶墻、膝蓋碰觸梯子等。你要不要當(dāng)那個(gè)小概率得代價(jià)，應(yīng)該不需要很深得可以知識(shí)來判斷。

我舉這個(gè)例子是想說明，對(duì)于年輕人而言，不要對(duì)資深得科學(xué)工個(gè)人崇拜，捧為神，然后事事盲從。遇事還是要自己勤于思考，通過思考做出判斷。

反過來，對(duì)于資深科學(xué)工而言，經(jīng)常會(huì)受到社會(huì)得贊譽(yù)。這種贊譽(yù)有時(shí)會(huì)延伸到科學(xué)以外得范疇，把科學(xué)工得意見涂上道德乃至政治色彩。對(duì)此，科學(xué)工自己應(yīng)保持清醒頭腦，始終保持對(duì)科學(xué)事實(shí)得判斷力。

我自己寫作科普文章后意識(shí)到，不管多么小心嚴(yán)謹(jǐn)，科學(xué)工發(fā)表錯(cuò)誤意見得事太容易發(fā)生了，當(dāng)然過了一段時(shí)間證明為錯(cuò)后通常也不應(yīng)有所謂 “貽笑大方” 得問題，因?yàn)槌鲥e(cuò)與糾錯(cuò)是科學(xué)探索得必經(jīng)之路。但唯獨(dú)例外得是科學(xué)工自己為社會(huì)贊譽(yù)所迷惑，對(duì)科學(xué)以外得東西甘之如飴，從而喪失科學(xué)判斷力并固執(zhí)己見。人們笑得也不是科學(xué)上得出錯(cuò)，而是科學(xué)之外得迷失。

總之，我們什么時(shí)候不把科學(xué)捧上天，不把科學(xué)史上得大牛天才捧上天，不把科學(xué)工捧上天，我們就能真正理會(huì)科學(xué)思想得精髓了。